Докажите, что четырёхугольник, у которого две стороны параллельны и углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые, является прямоугольником

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник с двумя параллельными сторонами и двумя прямыми углами является прямоугольником, давайте рассмотрим основные свойства и использовать простые геометрические рассуждения.

Условия задачи:

1. Четырёхугольник имеет две параллельные стороны.
2. Углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые.

План доказательства:

1. Пусть дан четырёхугольник ABCD, где AB параллельна CD. Это означает, что AB и CD — это противоположные стороны.
2. Из условия, известно, что углы при одной из сторон прямые. Пусть углы $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$. Это означает, что углы при вершинах A и B — прямые.

Теперь приступим к доказательству.

Шаг 1: Свойства параллельных сторон

Так как AB параллельна CD, и углы $\angle A$ и $\angle B$ прямые, это автоматически означает, что стороны AD и BC перпендикулярны к AB и CD. В данном случае можно утверждать, что $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$.

Шаг 2: Прямые углы на противоположной стороне

Так как AB и CD параллельны, а AD и BC перпендикулярны к AB, то углы при вершинах C и D также будут прямыми. Это связано с тем, что сумма внутренних углов на одной стороне от прямой равна 180°, а уже два угла в этих точках равны 90°. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Шаг 3: Все углы — прямые

Поскольку все углы четырёхугольника ABCD равны $90^\circ$, то этот четырёхугольник имеет четыре прямых угла.

Шаг 4: Определение прямоугольника

Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны попарно параллельны.

• Мы уже показали, что противоположные стороны AB и CD параллельны по условию.
• Также было доказано, что все углы четырёхугольника прямые.

Следовательно, по определению, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как он удовлетворяет всем его свойствам: имеет две пары параллельных сторон и все углы по 90°.

Вывод:

Четырёхугольник с двумя параллельными сторонами и двумя прямыми углами действительно является прямоугольником, поскольку такие условия автоматически приводят к наличию четырёх прямых углов, что является основным признаком прямоугольника.