Помогите с задачей по геометрии. Завтра контрольная. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВН. Докажите что треугольники СВН и САМ подобны.

Для того чтобы доказать, что треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle CAM$ подобны, нужно использовать свойства высот в треугольниках и теорему о подобных треугольниках.

1. Обозначения: Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $BN$, которые перпендикулярны соответственно сторонам $BC$ и $AC$. Таким образом, точки $M$ и $N$ — это перпендикулярные проекции точек $A$ и $B$ на противоположные стороны.

2. Перпендикулярность: По определению высот, отрезки $AM \perp BC$ и $BN \perp AC$. Следовательно, угол $\angle AMB = 90^\circ$, а также угол $\angle BNA = 90^\circ$.

3. Углы треугольников: Рассмотрим углы в треугольниках $\triangle CBH$ и $\triangle CAM$:

   • Угол $\angle CBA$ является общим для обоих треугольников.
   • В треугольнике $\triangle CBH$ угол $\angle CBH = \angle CBA$, потому что обе высоты $AM$ и $BN$ являются перпендикулярными к сторонам треугольника.
   • В треугольнике $\triangle CAM$ угол $\angle CAM = \angle CBA$, поскольку также существует общая точка — угол, образующийся на основании, которая является общим углом треугольников.

4. Соответствующие углы: Таким образом, из вышеуказанных наблюдений можно сделать вывод, что угол $\angle CBA$ является общим для обоих треугольников, и также углы $\angle CBH$ и $\angle CAM$ равны.

5. Пропорциональность сторон: Поскольку в обоих треугольниках углы одинаковы, можно сказать, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Это следует из теоремы о подобных треугольниках, которая гласит, что если два треугольника имеют равные углы, то их соответствующие стороны пропорциональны.

6. Заключение: Следовательно, треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle CAM$ подобны, так как у них равны углы и пропорциональны соответствующие стороны.