Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю.

Задача заключается в нахождении тангенса угла между меньшей стороной прямоугольника и его диагональю, при условии, что из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, делящий диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см.

1. Обозначения и введение в задачу

Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, где $a$ — это меньшая сторона, а $b$ — большая. Диагональ прямоугольника $d$ делится на два отрезка длиной 9 см и 16 см. Мы знаем, что длина диагонали $d$ будет равна $9 + 16 = 25$ см.

2. Геометрия задачи

Пусть точка пересечения перпендикуляра с диагональю — это точка $P$, где перпендикуляр из вершины прямоугольника пересекает диагональ. Таким образом, отрезки, которые получаются на диагонали, имеют длины 9 см и 16 см.

3. Связь между сторонами прямоугольника и диагональю

В прямоугольнике диагональ можно вычислить через теорему Пифагора:

Так как $d = 25$ см, получаем:

Преобразуем это уравнение:

4. Использование свойства перпендикуляра

Когда из вершины прямоугольника опускается перпендикуляр на диагональ, то этот перпендикуляр делит диагональ на два отрезка. Существует известная формула для вычисления длин этих отрезков, если известны стороны прямоугольника $a$ и $b$, и длина диагонали $d$.

Если $x_1$ и $x_2$ — длины отрезков, на которые диагональ делится перпендикуляром, то справедливо следующее соотношение:

Из условия задачи мы знаем, что $x_1 = 9$ см и $x_2 = 16$ см. Подставим эти значения в вышеуказанные формулы:

Теперь найдём $a^2$ и $b^2$:

5. Нахождение тангенса угла

Теперь у нас есть значения $a^2 = 225$ и $b^2 = 400$. Вспоминаем, что нам нужно найти тангенс угла между меньшей стороной $a$ и диагональю. Для этого используем следующий факт из геометрии:

Тангенс угла $\theta$, который образуют меньшая сторона $a$ и диагональ, можно выразить как отношение противоположной стороны (в данном случае — меньшей стороны прямоугольника) к прилежащей стороне (в данном случае — перпендикуляру, опущенному из вершины на диагональ). Это отношение даёт тангенс угла:

Подставляем значения $a = \sqrt{225} = 15$ и $b = \sqrt{400} = 20$:

Ответ

Тангенс угла между меньшей стороной прямоугольника и его диагональю равен $\frac{3}{4}$.