К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 101

Чтобы решить эту задачу, нужно найти такую цифру, которую можно приписать слева и справа к числу 15, чтобы полученное число делилось на 101.

Обозначим искомое число как $x$. Пусть цифры, которые мы приписываем слева и справа, будут обозначаться как $a$. Тогда число $x$ можно записать как:

$x = a15a$

Это число можно выразить в виде:

$x = 1000a + 150 + a = 1001a + 150$

Теперь нужно, чтобы число $x = 1001a + 150$ делилось на 101. То есть:

$(1001a + 150) \mod 101 = 0$

Рассмотрим $1001 \mod 101$ и $150 \mod 101$. Мы знаем, что:

То есть:

Теперь найдём $150 \mod 101$:

Теперь у нас есть:

Чтобы число $x$ делилось на 101, нужно, чтобы:

Преобразуем это в уравнение:

Преобразуем $-49 \mod 101$:

Теперь у нас есть:

Чтобы решить это, нужно найти обратный элемент для 92 по модулю 101. Для этого используем расширенный алгоритм Евклида.

1. $101 = 1 \times 92 + 9$
2. $92 = 10 \times 9 + 2$
3. $9 = 4 \times 2 + 1$
4. $2 = 2 \times 1 + 0$

Теперь работаем назад, чтобы выразить 1 как линейную комбинацию 92 и 101:

1. $1 = 9 - 4 \times 2$
2. $1 = 9 - 4 \times (92 - 10 \times 9) = 41 \times 9 - 4 \times 92$
3. $1 = 41 \times (101 - 92) - 4 \times 92 = 41 \times 101 - 45 \times 92$

Получаем:

То есть, обратный элемент для 92 по модулю 101 равен -45, или 56 (так как $-45 \mod 101 = 56$).

Теперь умножим обе стороны уравнения $92a \equiv 52 \mod 101$ на 56:

Вычислим $56 \times 52 = 2912$, и $2912 \mod 101 = 2912 - 28 \times 101 = 2912 - 2828 = 84$.

Таким образом, $a = 84$.

Теперь подставляем $a = 84$ в исходное выражение для числа:

Это число делится на 101, так как $84234 \div 101 = 834$.

Ответ: число, которое получается при приписывании цифры 84 слева и справа к числу 15, равно 84234.