Сколько существует треугольников с вершинами в 5 точках на одной параллельной прямой и 6 точках на другой прямой?

Рассмотрим две параллельные прямые, на одной из которых отмечены 5 точек, а на другой – 6 точек. Нам нужно определить количество различных треугольников, вершины которых принадлежат этим точкам.

1. Условия выбора вершин треугольника

Треугольник – это фигура, состоящая из трёх точек, которые не лежат на одной прямой. Так как все данные точки расположены на двух параллельных прямых, то треугольник не может состоять только из точек одной прямой. Следовательно, каждая его вершина должна принадлежать разным прямым.

2. Выбор точек для треугольника

Чтобы составить треугольник, нужно выбрать:

• 2 точки с одной прямой,
• 1 точку с другой прямой.

Пусть на первой прямой находится 5 точек, а на второй – 6.

1. Выбираем 2 точки из 5 (на первой прямой). Количество способов выбрать 2 точки из 5 определяется сочетанием:

   $$C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$

2. Выбираем 1 точку из 6 (на второй прямой). Количество способов выбрать 1 точку из 6:

   $$C(6,1) = 6$$

Общее число треугольников, где две точки берутся с первой прямой, а одна со второй:

3. Выбираем 2 точки из 6 (на второй прямой). Количество способов выбрать 2 точки из 6:

   $$C(6,2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$$

4. Выбираем 1 точку из 5 (на первой прямой). Количество способов выбрать 1 точку из 5:

   $$C(5,1) = 5$$

Общее число треугольников, где две точки берутся со второй прямой, а одна с первой:

3. Итоговое количество возможных треугольников

Складываем оба варианта:

Ответ: 135 различных треугольников можно составить, выбрав вершины из данных точек.