Найдите наименьшее значение функции \( Y = (x-9)^2 (x+4) - 4 \) на отрезке \([7; 16]\).

Для нахождения наименьшего значения функции $Y = (x-9)^2 (x+4) - 4$ на отрезке $[7; 16]$, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Сначала найдем первую производную функции $Y(x)$, чтобы найти критические точки. Для этого используем правило произведения.

Обозначим:

Тогда производная функции $Y(x)$ по правилу произведения:

Теперь найдем производные $f'(x)$ и $g'(x)$:

Подставляем эти выражения в формулу:

Упростим выражение:

Шаг 2: Находим критические точки.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Таким образом, у нас два возможных значения для $x$:

1. $x - 9 = 0$, то есть $x = 9$

2. $3x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$

Из этих двух значений $x = 9$ лежит на отрезке $[7; 16]$, а $x = \frac{1}{3}$ — нет. Следовательно, рассматриваем только $x = 9$.

Шаг 3: Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка.

Теперь вычислим значения функции $Y(x)$ в критической точке $x = 9$ и на концах отрезка $x = 7$ и $x = 16$.

1. $Y(7) = (7-9)^2(7+4) - 4 = (-2)^2(11) - 4 = 4 \times 11 - 4 = 44 - 4 = 40$

2. $Y(9) = (9-9)^2(9+4) - 4 = 0^2 \times 13 - 4 = -4$

3. $Y(16) = (16-9)^2(16+4) - 4 = 7^2 \times 20 - 4 = 49 \times 20 - 4 = 980 - 4 = 976$

Шаг 4: Сравниваем значения.

Мы вычислили значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• $Y(7) = 40$

• $Y(9) = -4$

• $Y(16) = 976$

Наименьшее значение функции на отрезке $[7; 16]$ равно $-4$, которое достигается в точке $x = 9$