Уравнение √(x^2 – 2) = √x.

Ответы на вопрос

Отвечает Кун Влад.

Рассмотрим уравнение:

\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{x}

Чтобы обе стороны уравнения имели смысл, выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x^2 - 2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 2 \Rightarrow x \leq -\sqrt{2}$ или $x \geq \sqrt{2}$
$x \geq 0$ (так как подкоренное выражение $\sqrt{x}$ должно быть неотрицательным)

Пересекаем эти два условия:

Учитывая, что обе части уравнения неотрицательны при $x \geq \sqrt{2}$ , можем возвести обе части в квадрат:

(\sqrt{x^2 - 2})^2 = (\sqrt{x})^2 \Rightarrow x^2 - 2 = x

x^2 - x - 2 = 0

Решим это уравнение по формуле:

x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1

Напомним, что ОДЗ: $x \geq \sqrt{2} \approx 1.41$

Подставим в исходное уравнение:

\sqrt{2^2 - 2} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} = \sqrt{2}

Верно.

\boxed{x = 2}

Ответы на вопрос