Решите уравнение: 2х³ + х² - 8х - 4 = 0

Решение

Дано кубическое уравнение

1. Поиск одного рационального корня (теорема Безу)

Коэффициенты целые, значит возможные рациональные корни — делители свободного члена $-4$, делённые на делители старшего коэффициента $2$:

Проверяем значение многочлена $P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4$:

• $P(1)=2+1-8-4=-9\neq0$;

• $P(-1)= -2+1+8-4=3\neq0$;

• $P(2)=16+4-16-4=0$.

Нашли корень $x=2$. Следовательно, $(x-2)$ — множитель многочлена.

2. Деление многочлена на $(x-2)$

Используем схемное деление:

Получили квадратный множитель

3. Решение квадратного уравнения $2x^{2}+5x+2=0$

Дискриминант:

Корни:

• $x_{1} = \dfrac{-5+3}{4}= -\dfrac12$;

• $x_{2} = \dfrac{-5-3}{4}= -2$.

4. Итог

Все корни исходного уравнения: