Решите рационально-дробное уравнение 2/x-3=7/x+1

Решение

1. Область допустимых значений (ОДЗ).
   Переменная $x$ стоит в знаменателе, поэтому $x \ne 0$.

2. Избавляемся от дробей.
   Умножим обе части уравнения

   $$\frac{2}{x} - 3 = \frac{7}{x} + 1$$

   на $x$ (допустимо, так как $x \ne 0$):

   $$2 - 3x = 7 + x.$$

3. Переносим все члены с $x$ влево, числа – вправо.

   $$2 - 3x - x = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 4x = 7.$$

4. Решаем полученное линейное уравнение.

   $$-4x = 7 - 2 = 5, \qquad x = -\frac{5}{4}.$$

5. Проверка.
   Подставляем $x=-\dfrac{5}{4}$ в исходное уравнение:

   $$\frac{2}{-5/4} - 3 = -\frac{8}{5} - 3 = -\frac{8}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{23}{5},$$ $$\frac{7}{-5/4} + 1 = -\frac{28}{5} + 1 = -\frac{28}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{23}{5}.$$

   Левая и правая части совпадают, значит найденное значение удовлетворяет уравнению и ОДЗ.

Ответ: $x = -\dfrac{5}{4}$.