Решите уравнение: 4^x-5*2^x=-6

Решение

1. Запишем $4^x$ через основание 2:

   $$4^x=(2^2)^x=2^{2x}.$$

2. Введём замену

   $$y=2^x\;(y>0).$$

   Тогда $2^{2x}=y^{2}$, и исходное уравнение

   $$4^x-5\cdot2^x=-6$$

   превращается в квадратное:

   $$y^{2}-5y=-6\;\;\Longrightarrow\;\;y^{2}-5y+6=0.$$

3. Решаем квадратное уравнение:

   $$(y-2)(y-3)=0\;\;\Longrightarrow\;\;y=2\quad\text{или}\quad y=3.$$

4. Возвращаемся к переменной $x$:

   • Если $y=2$, то $2^x=2\;\Rightarrow\;x=1$.

   • Если $y=3$, то $2^x=3\;\Rightarrow\;x=\log_{2}3\approx1{,}585$.

5. Проверка:

   • При $x=1$: $4^1-5\cdot2^1=4-10=-6$ — верно.

   • При $x=\log_{2}3$:
     $4^{\log_{2}3}=2^{2\log_{2}3}=3^{2}=9;\;$
     $5\cdot2^{\log_{2}3}=5\cdot3=15;\;$
     $9-15=-6$ — верно.

Ответ: $x=1$ или $x=\log_{2}3\;(\approx1{,}585)$.