Решить систему уравнений: 1) x/y + y/x = 5/2 2) x² + y² = 20

Для решения системы уравнений:

1. $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$

2. $x^2 + y^2 = 20$

Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить его через одну переменную. Для этого домножим обе части первого уравнения на $xy$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$):

Это можно записать как:

Заменим $x^2 + y^2$ из второго уравнения системы:

Теперь решим это уравнение для $xy$:

Теперь мы знаем, что произведение $xy = 8$. У нас есть две переменные $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 20$

2. $xy = 8$

Чтобы решить эту систему, рассмотрим уравнение для суммы и произведения корней квадратного уравнения. Пусть $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения. Тогда у нас есть система:

Где $(x + y)$ и $xy$ — это соответственно сумма и произведение корней. Мы знаем, что $xy = 8$, но нам нужно найти $x + y$. Для этого воспользуемся следующим выражением для квадрата суммы:

Подставим известные значения:

Отсюда:

Теперь у нас есть два случая для суммы $x + y$: 6 и -6. Подставим эти значения в квадратное уравнение.

Первый случай: $x + y = 6$

Тогда у нас квадратное уравнение:

Решим его с помощью формулы дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Таким образом, $x = 4$ и $y = 2$, либо наоборот, $x = 2$ и $y = 4$.

Второй случай: $x + y = -6$

Тогда у нас квадратное уравнение:

Решим его с помощью формулы дискриминанта: