Решите уравнение: (х-2)²(х-3)=12(х-2)

Для решения уравнения $(x - 2)^2(x - 3) = 12(x - 2)$, начнем с того, что заметим: если $x = 2$, то обе стороны уравнения становятся равными нулю, и это может быть решением. Однако, чтобы убедиться, что $x = 2$ — это единственное решение или исключение, продолжим решение.

1. Предположим, что $x \neq 2$. В этом случае можно поделить обе стороны уравнения на $(x - 2)$ (так как $(x - 2) \neq 0$):

   $$(x - 2)(x - 3) = 12$$

2. Раскроем скобки на левой части уравнения:

   $$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$x^2 - 5x + 6 = 12$$

3. Переносим все элементы на одну сторону:

   $$x^2 - 5x + 6 - 12 = 0$$ $$x^2 - 5x - 6 = 0$$

4. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -5$, $c = -6$:

   $$D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49$$

5. Находим корни уравнения с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{5 \pm 7}{2}$$

   Таким образом, два корня:

   $$x = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

6. Теперь, не забывая про $x = 2$, рассмотрим все найденные значения: $x = 2$, $x = 6$ и $x = -1$.

7. Проверим, что все эти значения действительно являются решениями исходного уравнения:

   • Для $x = 2$ подставляем в исходное уравнение: $(2 - 2)^2(2 - 3) = 12(2 - 2)$, что даёт $0 = 0$, то есть $x = 2$ — решение.

   • Для $x = 6$ подставляем: $(6 - 2)^2(6 - 3) = 12(6 - 2)$, что даёт $16 \times 3 = 12 \times 4$, то есть $48 = 48$, то есть $x = 6$ — решение.

   • Для $x = -1$ подставляем: $(-1 - 2)^2(-1 - 3) = 12(-1 - 2)$, что даёт $9 \times (-4) = 12 \times (-3)$, то есть $-36 = -36$, то есть $x = -1$ — решение.

Ответ: $x = 2$, $x = 6$, $x = -1$