Решите уравнение 5^2x-6*5^x+5=0

Давайте решим уравнение $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$.

1. Преобразование уравнения:

   В данном уравнении заметим, что $5^{2x}$ можно переписать как $(5^x)^2$, используя свойство степеней. Таким образом, уравнение примет вид:

   $$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$$

2. Замена переменной:

   Пусть $y = 5^x$. Это позволяет упростить уравнение до квадратного:

   $$y^2 - 6y + 5 = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

   Мы решаем квадратное уравнение $y^2 - 6y + 5 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$y = \frac{6 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$

4. Возвращение к $x$:

   Напоминаем, что $y = 5^x$. Поэтому для каждого из значений $y$ решим уравнение $5^x = y$:

   • Для $y_1 = 5$, получаем $5^x = 5$. Это означает, что $x = 1$.

   • Для $y_2 = 1$, получаем $5^x = 1$. Это возможно только при $x = 0$, так как $5^0 = 1$.

5. Ответ:

   Таким образом, у уравнения $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$ два решения:

   $$x = 1 \quad \text{и} \quad x = 0.$$