Сколько корней имеет уравнение x^7 = -1?

Уравнение $x^7 = -1$ имеет 7 корней. Чтобы найти их, нужно представить правую часть уравнения в комплексной форме. Число $-1$ можно записать как комплексное число в полярной форме: $-1 = e^{i\pi}$, так как угол $\pi$ (или 180 градусов) соответствует числу $-1$ на комплексной плоскости.

Теперь рассмотрим уравнение $x^7 = e^{i\pi}$. Чтобы найти корни, необходимо извлечь седьмую степень из обеих частей. Для этого используем формулу корней комплексных чисел. Корни будут иметь вид:

Каждое значение $k$ даёт уникальный корень, и их будет 7, так как для каждого $k$ выражение $\frac{\pi + 2k\pi}{7}$ даёт разные углы на комплексной плоскости.

Таким образом, у уравнения $x^7 = -1$ есть 7 различных корней.