Найдите наименьшее значение функции \( y = 7 + 12x - x^3 \).

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 7 + 12x - x^3$, нужно сначала найти её производную и исследовать, где она равна нулю, а также изучить поведение функции на этих точках.

1. Находим производную функции:
   Функция: $y = 7 + 12x - x^3$.

   Производная этой функции по $x$ будет:

   $$y' = \frac{d}{dx}(7) + \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(x^3) = 0 + 12 - 3x^2.$$

   То есть, производная функции:

   $$y' = 12 - 3x^2.$$

2. Находим критические точки:
   Чтобы найти критические точки, приравниваем производную к нулю:

   $$12 - 3x^2 = 0.$$

   Решим это уравнение:

   $$3x^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.$$

   Таким образом, критические точки находятся в $x = 2$ и $x = -2$.

3. Исследуем поведение функции в критических точках:
   Чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, нужно исследовать вторую производную функции.

   Вторая производная функции $y' = 12 - 3x^2$ будет:

   $$y'' = \frac{d}{dx}(12 - 3x^2) = -6x.$$

   Проверим знак второй производной в точках $x = 2$ и $x = -2$:

   • В точке $x = 2$:

     $$y''(2) = -6 \times 2 = -12.$$

     Поскольку вторая производная отрицательна, точка $x = 2$ — это точка локального максимума.

   • В точке $x = -2$:

     $$y''(-2) = -6 \times (-2) = 12.$$

     Поскольку вторая производная положительна, точка $x = -2$ — это точка локального минимума.

4. Находим значение функции в точке локального минимума:
   Подставим $x = -2$ в исходную функцию:

   $$y(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 + 8 = -9.$$

Итак, наименьшее значение функции $y = 7 + 12x - x^3$ равно $\boxed{-9}$, и оно достигается при $x = -2$.