Найдите наименьшее значение функции: y=5cosx - 6x+4 на отрезке [-3π/2; 0]

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 5 \cos x - 6x + 4$ на отрезке $[-3\pi/2; 0]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $y$.

   Функция $y = 5 \cos x - 6x + 4$. Для её дифференцирования применяем стандартные правила:

   • Производная от $5 \cos x$ — это $-5 \sin x$,

   • Производная от $-6x$ — это $-6$,

   • Производная от $4$ — это $0$.

   Таким образом, производная функции будет:

   $$y'(x) = -5 \sin x - 6$$

2. Найдем критические точки.

   Критические точки — это такие значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение $y'(x) = 0$:

   $$-5 \sin x - 6 = 0$$ $$\sin x = -\frac{6}{5}$$

   Однако, синус функции ограничен значениями от -1 до 1, и значение $-\frac{6}{5}$ выходит за этот предел. Следовательно, на отрезке $[-3\pi/2; 0]$ нет точек, в которых производная равна нулю.

3. Проверим значения функции на концах отрезка.

   Поскольку в данном случае критических точек нет, минимальное значение функции будет на концах отрезка $[-3\pi/2; 0]$.

   • Для $x = -3\pi/2$:

   $$y(-3\pi/2) = 5 \cos(-3\pi/2) - 6(-3\pi/2) + 4$$

   Так как $\cos(-3\pi/2) = 0$, получаем:

   $$y(-3\pi/2) = 0 + 9\pi + 4 = 9\pi + 4$$

   • Для $x = 0$:

   $$y(0) = 5 \cos(0) - 6(0) + 4 = 5 \cdot 1 + 0 + 4 = 9$$

4. Сравним значения функции на концах отрезка.

   • $y(-3\pi/2) = 9\pi + 4 \approx 28.274 + 4 = 32.274$,

   • $y(0) = 9$.

   Очевидно, что наименьшее значение функции достигается в точке $x = 0$, и оно равно 9.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-3\pi/2; 0]$ равно 9.