Решите неравенство \( x^2 + 2x - 48 < 0 \).

Для решения неравенства $x^2 + 2x - 48 < 0$, нужно сначала решить соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 48 = 0$.

1. Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Для нашего уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$ коэффициенты следующие:

• $a = 1$

• $b = 2$

• $c = -48$

Подставляем эти значения в формулу:

Теперь находим два корня:

Таким образом, уравнение $x^2 + 2x - 48 = 0$ имеет корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$.

2. Определение знаков выражения $x^2 + 2x - 48$:

Теперь нам нужно найти, для каких значений $x$ выражение $x^2 + 2x - 48$ отрицательно. Мы знаем, что квадратичная функция $x^2 + 2x - 48$ имеет параболу, открывающуюся вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положительный (он равен 1).

Парабола пересекает ось $x$ в точках $x = -8$ и $x = 6$. Это значит, что функция принимает отрицательные значения на промежутке между этими корнями. Проверим это:

• Для $x < -8$ (например, при $x = -9$): подставляем $x = -9$ в выражение $x^2 + 2x - 48$:

  $$(-9)^2 + 2(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15$$

  Значение положительное.

• Для $-8 < x < 6$ (например, при $x = 0$): подставляем $x = 0$ в выражение $x^2 + 2x - 48$:

  $$0^2 + 2(0) - 48 = -48$$

  Значение отрицательное.

• Для $x > 6$ (например, при $x = 7$): подставляем $x = 7$ в выражение $x^2 + 2x - 48$:

  $$7^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15$$