sin3x = √2/2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Для решения уравнения $\sin(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 2\pi]$, нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

1. Известно, что $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при следующих значениях угла $\theta$:

   $$\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$

   где $k$ — целое число.

2. Поскольку у нас $\sin(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то 3x должно быть равно $\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ или $\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

3. Разрешим каждое из этих уравнений для $x$.

Для $3x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$:

Для $3x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$:

Теперь подставим различные значения $k$, чтобы найти корни на отрезке $[0; 2\pi]$.

Для первого уравнения $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}$:

• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$

• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$

• При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$

• При $k = 3$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$, что больше $2\pi$, так что это решение не подходит.

Таким образом, для первого уравнения корни: $x = \frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}$