Найдите промежутки убывания функции \( f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3 \).

Для нахождения промежутков убывания функции $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$ нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Находим первую производную функции

Первая производная функции $f'(x)$ даст информацию о том, где функция возрастает или убывает.

Используем стандартные правила дифференцирования:

Шаг 2: Находим критические точки

Для того чтобы определить, на каких интервалах функция убывает, нужно решить неравенство $f'(x) < 0$.

Для начала находим корни уравнения $f'(x) = 0$, то есть решаем квадратное уравнение:

Для решения этого уравнения используем дискриминант:

Корни уравнения находятся по формуле:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 3: Определяем промежутки

Теперь, когда мы нашли корни $x_1 = \frac{5}{3}$ и $x_2 = -1$, разбиение числовой оси будет следующим: $(-\infty, -1)$, $(-1, \frac{5}{3})$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$.

Для того чтобы определить, на каких из этих промежутков производная отрицательна (то есть функция убывает), подставим значения из каждого промежутка в первую производную $f'(x) = 3x^2 - 2x - 5$.

1. Для промежутка $(-\infty, -1)$, например, подставим $x = -2$:

   $$f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 3(4) + 4 - 5 = 12 + 4 - 5 = 11$$

   Так как $f'(-2) > 0$, на промежутке $(-\infty, -1)$ функция возрастает.

2. Для промежутка $(-1, \frac{5}{3})$, например, подставим $x = 0$:

   $$f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 5 = -5$$

   Так как $f'(0) < 0$, на промежутке $(-1, \frac{5}{3})$ функция убывает.

3. Для промежутка $(\frac{5}{3}, +\infty)$, например, подставим $x = 2$:

   $$f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 5 = 3(4) - 4 - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$$