Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что \( b_2 = 1{,}2 \) и \( b_4 = 4{,}8 \).

Для того чтобы найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим общий знаменатель прогрессии:
   Известно, что $b_2 = 1{,}2$ и $b_4 = 4{,}8$. В геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии (обозначим его $q$):

   • $b_2 = b_1 q$,

   • $b_4 = b_1 q^3$.

   Подставляем известные значения:

   $$b_2 = 1{,}2 \quad \text{и} \quad b_4 = 4{,}8.$$

   Составляем систему уравнений:

   $$b_1 q = 1{,}2 \quad \text{(1)},$$ $$b_1 q^3 = 4{,}8 \quad \text{(2)}.$$

   Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

   $$\frac{b_1 q^3}{b_1 q} = \frac{4{,}8}{1{,}2},$$

   получим:

   $$q^2 = 4.$$

   Таким образом, $q = 2$, так как прогрессия состоит из положительных членов.

2. Найдем первый член прогрессии $b_1$:
   Подставим $q = 2$ в уравнение (1):

   $$b_1 \cdot 2 = 1{,}2 \quad \Rightarrow \quad b_1 = \frac{1{,}2}{2} = 0{,}6.$$

3. Найдем сумму восьми первых членов прогрессии:
   Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

   $$S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если} \quad q \neq 1.$$

   Подставим известные значения:

   $$S_8 = 0{,}6 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = 0{,}6 \cdot \frac{1 - 256}{-1} = 0{,}6 \cdot 255 = 153.$$

Таким образом, сумма восьми первых членов геометрической прогрессии равна 153.