(2x-5)(x+3)>0 решите неравенство

Для решения неравенства $(2x - 5)(x + 3) > 0$ нужно найти такие значения $x$, при которых произведение двух выражений больше нуля. Для этого разберемся, когда каждое из выражений равно нулю и как знак произведения зависит от этих значений.

Шаг 1: Находим нули выражений

1. $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$.

2. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

Таким образом, точки, в которых произведение выражений может менять знак — это $x = -3$ и $x = \frac{5}{2}$.

Шаг 2: Разбиваем ось на интервалы

На основе найденных значений разбиваем ось чисел на три интервала:

1. $x < -3$

2. $-3 < x < \frac{5}{2}$

3. $x > \frac{5}{2}$

Шаг 3: Анализируем знак произведения на каждом интервале

1. Для $x < -3$: оба множителя $2x - 5$ и $x + 3$ отрицательны, так как $x$ меньше $-3$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, на интервале $(-∞, -3)$ выражение $(2x - 5)(x + 3)$ больше нуля.

2. Для $-3 < x < \frac{5}{2}$: $2x - 5$ отрицательно, а $x + 3$ положительно. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа отрицательно. Значит, на интервале $(-3, \frac{5}{2})$ выражение $(2x - 5)(x + 3)$ меньше нуля.

3. Для $x > \frac{5}{2}$: оба множителя $2x - 5$ и $x + 3$ положительны, так как $x$ больше $\frac{5}{2}$. Произведение двух положительных чисел положительно. Значит, на интервале $(\frac{5}{2}, +∞)$ выражение $(2x - 5)(x + 3)$ больше нуля.

Шаг 4: Проверка знаков на границах интервалов

• При $x = -3$, выражение равно $(2(-3) - 5)(-3 + 3) = (-11)(0) = 0$, что не подходит для неравенства $(2x - 5)(x + 3) > 0$.

• При $x = \frac{5}{2}$, выражение равно $(2(\frac{5}{2}) - 5)(\frac{5}{2} + 3) = (0)(\frac{11}{2}) = 0$, что также не подходит.

Шаг 5: Ответ

Неравенство $(2x - 5)(x + 3) > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(\frac{5}{2}, +\infty)$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$.