Неравенство х^2+х-6 <0

Чтобы решить неравенство $x^2 + x - 6$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Привести неравенство к стандартному виду.
   Мы имеем неравенство $x^2 + x - 6 > 0$ (или $x^2 + x - 6 < 0$, в зависимости от условий задачи).

2. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
   Для этого воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

   Подставим эти значения в формулу:

   $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x = \frac{-1 \pm 5}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$

3. Построение промежутков.
   Мы знаем, что парабола $x^2 + x - 6$ имеет корни в точках $x = 2$ и $x = -3$. Эти корни делят числовую ось на три промежутка:

   • $(-\infty, -3)$

   • $(-3, 2)$

   • $(2, +\infty)$

4. Определение знаков на промежутках.
   Чтобы определить, на каких промежутках выражение $x^2 + x - 6$ больше или меньше нуля, подставим тестовые точки из каждого промежутка в исходное неравенство:

   • Для промежутка $(-\infty, -3)$, например, подставим $x = -4$:

     $$(-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0$$

     Значит, на промежутке $(-\infty, -3)$ выражение положительное.

   • Для промежутка $(-3, 2)$, например, подставим $x = 0$:

     $$0^2 + 0 - 6 = -6 < 0$$

     Значит, на промежутке $(-3, 2)$ выражение отрицательное.

   • Для промежутка $(2, +\infty)$, например, подставим $x = 3$:

     $$3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0$$

     Значит, на промежутке $(2, +\infty)$ выражение положительное.

5. Решение неравенства.
   Теперь можно ответить на неравенство:

   • Для $x^2 + x - 6 > 0$ решение: $(-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$

   • Для $x^2 + x - 6 < 0$ решение: $(-3, 2)$

Таким образом, это и есть решение неравенства.