1) В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии. 2) Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок. 3) Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объемом 6080 см³, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона. 4) На перегоне в 600 км после прохождения 1/4 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

1) Число участников шахматного турнира

В шахматном турнире сыграно 45 партий, и каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Нужно найти число участников турнира.

Предположим, что в турнире участвуют $n$ игроков. Количество партий, которые могут быть сыграны между ними, можно выразить через сочетание из $n$ по 2, так как каждый игрок играет с каждым другим игроком:

Задача говорит, что сыграно 45 партий, то есть:

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

Теперь решим это квадратное уравнение:

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант:

Теперь находим корни уравнения:

Корни уравнения: $n = \frac{1 + 19}{2} = 10$ или $n = \frac{1 - 19}{2} = -9$.

Так как количество участников не может быть отрицательным, то $n = 10$.

Ответ: в турнире участвовали 10 человек.

2) Объём ящика

Дано, что ширина дна ящика в два раза меньше его длины. Пусть длина дна равна $x$, тогда ширина дна будет равна $\frac{x}{2}$. Высота ящика — 0,5 м. Площадь дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.

Площадь дна ящика:

Площадь боковых стенок ящика состоит из двух прямоугольников размером $x \times 0,5$ и двух прямоугольников размером $\frac{x}{2} \times 0,5$. Площадь боковых стенок:

По условию задачи, площадь дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок:

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Теперь находим корни уравнения:

Корни уравнения: $x = \frac{3 + 0,6}{2} = 1,8$ или $x = \frac{3 - 0,6}{2} = 1,2$.

Длина ящика не может быть меньше его ширины, поэтому принимаем $x = 1,8$ м.

Теперь находим объём ящика. Объём ящика рассчитывается по формуле:

Подставим значение $x = 1,8$