Ctg (arccos 1/2 + arcsin корень 3/2)

Для решения выражения $\text{ctg} \left( \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Рассмотрим выражение $\arccos \left( \frac{1}{2} \right)$:

   • $\arccos \left( \frac{1}{2} \right)$ — это угол $\theta$, для которого $\cos \theta = \frac{1}{2}$.

   • Известно, что $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$, поэтому $\arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$.

2. Рассмотрим выражение $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$:

   • $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — это угол $\phi$, для которого $\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

   • Известно, что $\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$.

3. Теперь сложим два угла:

   $$\arccos \left( \frac{1}{2} \right) + \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

4. Найдем $\text{ctg} \left( \frac{2\pi}{3} \right)$:

   • Функция $\text{ctg}$ (котангенс) равна $\text{ctg} \theta = \frac{1}{\tan \theta}$.

   • Для угла $\frac{2\pi}{3}$, который находится в 2-й четверти, $\tan \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}$.

   • Следовательно, $\text{ctg} \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, ответ на задачу: