Найдите наименьшее значение функции y = x³ - 3x + 23 на отрезке [0; 2].

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^3 - 3x + 23$ на отрезке $[0; 2]$ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

   Чтобы найти критические точки, нужно найти первую производную функции:

   $$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 23) = 3x^2 - 3.$$

2. Решим уравнение $y'(x) = 0$:

   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   $$3x^2 - 3 = 0.$$

   Упростим:

   $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$$

   Однако, так как нас интересует отрезок $[0; 2]$, то возможная критическая точка на этом отрезке — $x = 1$.

3. Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:

   Теперь нужно посчитать значения функции в точках $x = 0$, $x = 1$ и $x = 2$.

   • Для $x = 0$:

   $$y(0) = 0^3 - 3(0) + 23 = 23.$$

   • Для $x = 1$:

   $$y(1) = 1^3 - 3(1) + 23 = 1 - 3 + 23 = 21.$$

   • Для $x = 2$:

   $$y(2) = 2^3 - 3(2) + 23 = 8 - 6 + 23 = 25.$$

4. Определим наименьшее значение:

   Мы получили значения функции:

   $$y(0) = 23, \quad y(1) = 21, \quad y(2) = 25.$$

   Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ — это $y(1) = 21$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно 21.