У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно m, а ребенку дают не более трех разных имен?

Если ребенку дают не более трех разных имен, и общее количество доступных имен равно $m$, то для вычисления количества возможных комбинаций, следует учесть несколько вариантов:

1. Когда ребенку дают одно имя. Это просто одно из $m$ доступных имен. Таким образом, способов выбрать одно имя — $m$.

2. Когда ребенку дают два имени. В этом случае нужно выбрать два разных имени из $m$. Порядок имен не имеет значения (то есть имена в комбинации считаются одинаковыми, независимо от того, в каком порядке они стоят). Количество способов выбрать два имени из $m$ равно сочетаниям из $m$ по два:

3. Когда ребенку дают три имени. Нужно выбрать три разных имени из $m$. Количество способов выбрать три имени из $m$ также вычисляется через сочетания:

Теперь, чтобы найти общее количество способов, нужно сложить все возможные случаи: одно имя, два имени и три имени.

Итак, общее количество способов выбрать имена для ребенка:

Это и есть искомое количество способов назвать ребенка, если общее число имен равно $m$, а ребенку дают не более трех разных имен.