Найдите область определения y = корень x^2+5x+6

Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 5x + 6}$, нужно учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определён в действительных числах.

Шаг 1: Запишем неравенство для подкоренного выражения:

Шаг 2: Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 + 5x + 6$. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Подставим эти значения в формулу:

Получаем два корня:

Шаг 3: Теперь мы можем записать разложение квадратного трёхчлена в виде:

Шаг 4: Чтобы решить неравенство $(x + 2)(x + 3) \geq 0$, используем метод интервалов.

Корни данного неравенства — $x = -2$ и $x = -3$, которые разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

Теперь определим знак на каждом из интервалов:

1. На интервале $(-\infty, -3)$ выражение $(x + 2)(x + 3)$ положительно, так как оба множителя отрицательны (например, при $x = -4$).
2. На интервале $(-3, -2)$ выражение $(x + 2)(x + 3)$ отрицательно, так как один множитель отрицательный, а другой положительный (например, при $x = -2.5$).
3. На интервале $(-2, +\infty)$ выражение $(x + 2)(x + 3)$ положительно, так как оба множителя положительны (например, при $x = 0$).

Значения $x = -3$ и $x = -2$ делают выражение равным нулю, что допустимо для подкоренного выражения.

Шаг 5: Следовательно, область определения функции — это объединение промежутков, на которых подкоренное выражение неотрицательно:

Таким образом, область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 5x + 6}$ — это $(-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.