Найти наименьшее значение у: у=e^(4x)-4e^x+8 на отрезке [-2;2]

Для нахождения наименьшего значения функции $y = e^{4x} - 4e^x + 8$ на отрезке $[-2; 2]$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

Для начала находим первую производную функции $y = e^{4x} - 4e^x + 8$.

2. Найдем критические точки:

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю:

Разделим обе части на 4:

Теперь, чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих сторон (поскольку $e^x$ и $e^{4x}$ — это экспоненты с одинаковым основанием):

Преобразуем уравнение:

Таким образом, $x = 0$ — это критическая точка.

3. Проверим значения функции на границах отрезка и в критической точке:

Теперь нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка $[-2, 2]$.

В точке $x = 0$:

В точке $x = -2$:

Это выражение можно оценить численно:

В точке $x = 2$:

Оценим это выражение численно:

4. Сравнение значений:

Теперь, имея значения функции в трех точках, сравним их:

• $y(0) = 5$

• $y(-2) \approx 7.4591$

• $y(2) \approx 2959.404$

Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ достигается в точке $x = 0$, и равно 5.

Таким образом, наименьшее значение функции $y = e^{4x} - 4e^x + 8$ на отрезке $[-2; 2]$ равно 5.