Можно ли найти вероятность того, что наудачу выбранное трехзначное число окажется кратным 2 или 3, или одновременно обоим?

Чтобы найти вероятность того, что случайным образом выбранное трехзначное число окажется кратным 2 или 3, или обоим одновременно, нужно решить задачу с использованием теории вероятностей.

Шаг 1. Общее количество трехзначных чисел

Трехзначное число — это число от 100 до 999 включительно. Поэтому общее количество трехзначных чисел:

Итак, всего существует 900 трехзначных чисел.

Шаг 2. Найдем количество чисел, кратных 2

Число кратно 2, если оно четное. Первое четное трехзначное число — это 100, а последнее — 998. Все четные числа между ними образуют арифметическую прогрессию с первым членом 100 и разностью 2. Чтобы найти количество таких чисел, используем формулу для нахождения количества членов арифметической прогрессии:

Итак, 450 чисел кратны 2.

Шаг 3. Найдем количество чисел, кратных 3

Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Первое трехзначное число, кратное 3, это 102, а последнее — 999. Числа кратные 3 также образуют арифметическую прогрессию, где первый член 102, разность 3. Для нахождения количества таких чисел:

Итак, 300 чисел кратны 3.

Шаг 4. Найдем количество чисел, кратных 6

Число кратно 6, если оно кратно и 2, и 3 одновременно. Такие числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 102 (первое число, кратное и 2, и 3), разностью 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3). Для нахождения количества чисел, кратных 6:

Итак, 150 чисел кратны 6.

Шаг 5. Используем формулу для вероятности

Теперь можно применить формулу для нахождения вероятности, используя принцип включений-исключений. Это принцип позволяет учесть пересечения (числа, кратные одновременно 2 и 3), которые были посчитаны дважды.

Количество чисел, кратных 2 или 3, равно:

где:

• $|A|$ — количество чисел, кратных 2, то есть 450,

• $|B|$ — количество чисел, кратных 3, то есть 300,

• $|A \cap B|$ — количество чисел, кратных 6, то есть 150.

Таким образом:

Итак, 600 чисел из 900 кратны 2 или 3. Вероятность того, что случайно выбранное число будет кратно 2 или 3, равна:

Ответ:

Вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число окажется кратным 2 или 3, или тому и другому одновременно, равна $\frac{2}{3}$, или примерно 0.6667.