2*log 4(4+x)=4-log2(x-2)

Для того чтобы решить уравнение $2 \cdot \log_4 (4 + x) = 4 - \log_2 (x - 2)$, воспользуемся следующими шагами.

Шаг 1: Преобразуем логарифмы к одному основанию

Первое, что нужно сделать — это выразить все логарифмы через логарифмы с одинаковым основанием. В данном уравнении одно из выражений уже имеет основание 4 ($\log_4$), а другое основание 2 ($\log_2$).

Используем формулу преобразования логарифмов:

где $c$ — любое основание логарифма. Мы возьмем основание 2 для всех логарифмов. Таким образом:

1. Преобразуем $\log_4 (4 + x)$ через основание 2:

   $$\log_4 (4 + x) = \frac{\log_2 (4 + x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (4 + x)}{2}$$

2. Перепишем исходное уравнение с этим выражением:

   $$2 \cdot \frac{\log_2 (4 + x)}{2} = 4 - \log_2 (x - 2)$$

   Упростим левую часть:

   $$\log_2 (4 + x) = 4 - \log_2 (x - 2)$$

Шаг 2: Переносим все логарифмы в одну сторону

Переносим $\log_2 (x - 2)$ в левую часть уравнения:

Шаг 3: Используем свойство логарифмов

Теперь воспользуемся свойством логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. Применим это к нашему уравнению:

Шаг 4: Убираем логарифм

Чтобы избавиться от логарифма, обе стороны уравнения возведем в степень 2 (основание логарифма):

Шаг 5: Раскрываем скобки

Теперь раскроем скобки в левой части:

Упростим выражение:

Шаг 6: Переносим все в одну сторону

Переносим 16 в левую часть:

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 24 = 0$ с помощью формулы дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня: