Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 10. Какое наибольшее возможное значение может принимать самое большое из этих чисел?

Чтобы решить задачу, давайте обозначим десять различных натуральных чисел как $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$, где $x_1 < x_2 < \ldots < x_{10}$. Нам нужно найти наибольшее значение числа $x_{10}$, при условии, что среднее арифметическое этих чисел равно 10.

Среднее арифметическое чисел можно выразить как:

Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от дроби:

Теперь наша задача — найти такие десять различных натуральных чисел, сумма которых равна 100, и при этом максимизировать значение $x_{10}$, то есть самое большое из этих чисел.

Для этого начнем с минимальных возможных значений для чисел $x_1, x_2, \ldots, x_9$. Поскольку числа должны быть различными натуральными числами, выберем их как первые девять чисел, начиная с 1:

Сумма этих чисел равна:

Теперь, чтобы получить сумму всех десяти чисел равной 100, нужно, чтобы $x_{10}$ удовлетворяло следующему уравнению:

Отсюда:

Таким образом, наибольшее возможное значение для самого большого числа $x_{10}$ равно 55.