Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам 2/1+4/4+8/9+16/16

Для нахождения формулы общего члена ряда можно проанализировать его структуру. Рассмотрим данный ряд:

В первой очереди мы видим дроби, в которых числители и знаменатели следуют определенным закономерностям.

Числители:

Посмотрим на числители: 2, 4, 8, 16. Это последовательность, где каждый следующий числитель получается умножением предыдущего на 2. То есть, числитель $a_n$ для $n$-го члена будет равен:

Знаменатели:

Теперь рассмотрим знаменатели: 1, 4, 9, 16. Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2$, $2^2$, $3^2$, $4^2$. Таким образом, знаменатель для $n$-го члена будет равен:

Формула общего члена ряда:

Теперь, когда мы нашли выражения для числителей и знаменателей, можем записать общий член ряда как:

Таким образом, формула для $n$-го члена этого ряда — это: