Выполните действие ((5+2i)/(2-5i))-((3-4i)/(4+3i))

Для того чтобы решить выражение $\left(\frac{5 + 2i}{2 - 5i}\right) - \left(\frac{3 - 4i}{4 + 3i}\right)$, нужно выполнить несколько шагов, включая умножение на сопряжённые комплексные числа и упрощение.

1. Первое слагаемое: $\frac{5 + 2i}{2 - 5i}$
   Чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число для $2 - 5i$, то есть на $2 + 5i$:

   $$\frac{5 + 2i}{2 - 5i} \cdot \frac{2 + 5i}{2 + 5i} = \frac{(5 + 2i)(2 + 5i)}{(2 - 5i)(2 + 5i)}$$

   В числителе используем распределение:

   $$(5 + 2i)(2 + 5i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 5i + 2i \cdot 2 + 2i \cdot 5i = 10 + 25i + 4i + 10i^2$$

   Так как $i^2 = -1$, то:

   $$10 + 25i + 4i + 10(-1) = 10 + 29i - 10 = 29i$$

   В знаменателе используем формулу разности квадратов:

   $$(2 - 5i)(2 + 5i) = 2^2 - (5i)^2 = 4 - 25(-1) = 4 + 25 = 29$$

   Таким образом, первое слагаемое равно:

   $$\frac{29i}{29} = i$$

2. Второе слагаемое: $\frac{3 - 4i}{4 + 3i}$
   Чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число для $4 + 3i$, то есть на $4 - 3i$:

   $$\frac{3 - 4i}{4 + 3i} \cdot \frac{4 - 3i}{4 - 3i} = \frac{(3 - 4i)(4 - 3i)}{(4 + 3i)(4 - 3i)}$$

   В числителе используем распределение:

   $$(3 - 4i)(4 - 3i) = 3 \cdot 4 - 3 \cdot 3i - 4i \cdot 4 + 4i \cdot 3i = 12 - 9i - 16i + 12i^2$$

   С учетом $i^2 = -1$, получаем:

   $$12 - 9i - 16i + 12(-1) = 12 - 25i - 12 = -25i$$

   В знаменателе снова применяем формулу разности квадратов:

   $$(4 + 3i)(4 - 3i) = 4^2 - (3i)^2 = 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25$$

   Таким образом, второе слагаемое равно:

   $$\frac{-25i}{25} = -i$$

3. Теперь складываем оба слагаемых:

   $$i - (-i) = i + i = 2i$$

Ответ: $2i$.