Log2(2-x)=log2(2-3x)+1

Для того чтобы решить уравнение $\log_2(2 - x) = \log_2(2 - 3x) + 1$, давайте пошагово разберемся с ним.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Сначала преобразуем $1$ справа от знака равенства. Поскольку у нас логарифмы с основанием 2, можно выразить единицу как $\log_2 2$, потому что $\log_2 2 = 1$. Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 2: Используем свойство логарифмов

Теперь применим свойство логарифмов: $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$. Это позволяет объединить два логарифма справа от знака равенства:

Упростим выражение внутри логарифма:

Шаг 3: Приравниваем аргументы логарифмов

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны только тогда, когда их аргументы равны, можно приравнять аргументы логарифмов:

Шаг 4: Решаем полученное линейное уравнение

Теперь решим уравнение $2 - x = 4 - 6x$. Для этого перенесем все элементы, содержащие $x$, в одну сторону, а постоянные числа в другую:

Теперь добавим $6x$ к обеим сторонам:

Добавим 2 к обеим сторонам:

И теперь разделим на 5:

Шаг 5: Проверка решения

Важно проверить, не приводит ли найденное значение $x = \frac{2}{5}$ к возникновению отрицательных значений внутри логарифмов. Подставим $x = \frac{2}{5}$ в оба аргумента логарифмов:

1. Аргумент первого логарифма: $2 - x = 2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$ (положительное число).

2. Аргумент второго логарифма: $2 - 3x = 2 - 3 \cdot \frac{2}{5} = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$ (положительное число).

Поскольку оба аргумента положительные, решение $x = \frac{2}{5}$ является допустимым.

Ответ:

$x = \frac{2}{5}$