Сколькими способами можно составить букет из 7 цветков, если имеем 9 ромашек и 5 васильков? С решением,пожалуйста

Чтобы ответить на вопрос, разберёмся с основными условиями задачи. У нас есть 9 ромашек и 5 васильков, и нужно составить букет из 7 цветков. То есть нам нужно выбрать 7 цветков из общего количества доступных, но с учётом того, что у нас есть два типа цветов: ромашки и васильки.

Решение

1. Определим возможные комбинации цветов: Нам нужно выбрать 7 цветков, но количество ромашек и васильков в букете может быть разным. Поэтому, будем рассматривать все возможные случаи, когда:

   • В букете $k$ ромашек и $7 - k$ васильков, где $k$ может принимать значения от 2 до 7 (поскольку только максимум 5 васильков доступно).

2. Рассмотрим возможные варианты для $k$: Поскольку у нас всего 5 васильков, мы можем включить в букет от 0 до 5 васильков. Значит, количество ромашек $k$ может варьироваться от 2 до 7. Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Подсчёт числа способов для каждого случая

Для каждого возможного числа ромашек и васильков применим формулу сочетаний:

где $C(n, k)$ — число сочетаний, $n$ — общее количество цветов определённого типа, $k$ — сколько из них мы выбираем.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1. 5 ромашек и 2 василька:

   • Число способов выбрать 5 ромашек из 9: $$C(9, 5) = \frac{9!}{5! \cdot (9 - 5)!} = 126$$
   • Число способов выбрать 2 василька из 5: $$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10$$
   • Общее количество способов для этого варианта: $$126 \times 10 = 1260$$

2. 6 ромашек и 1 василёк:

   • Число способов выбрать 6 ромашек из 9: $$C(9, 6) = \frac{9!}{6! \cdot (9 - 6)!} = 84$$
   • Число способов выбрать 1 василёк из 5: $$C(5, 1) = 5$$
   • Общее количество способов для этого варианта: $$84 \times 5 = 420$$

3. 7 ромашек и 0 васильков:

   • Число способов выбрать 7 ромашек из 9: $$C(9, 7) = \frac{9!}{7! \cdot (9 - 7)!} = 36$$
   • Поскольку в этом случае нас устраивают только 7 ромашек, не выбирая васильки, остаётся: $$36$$

Итоговое решение

Теперь суммируем все возможные варианты:

Ответ:

Существует 1716 способов составить букет из 7 цветков, если у нас есть 9 ромашек и 5 васильков.