найдите наименьшее значение функции y = 2x + 18/x + 8 на отрезке [0,5; 12]

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $y = \frac{2x + 18}{x + 8}$ на отрезке $[0,5; 12]$, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

   Для начала вычислим производную функции $y = \frac{2x + 18}{x + 8}$. Используем правило дифференцирования частного:

   $$y' = \frac{(x + 8)(2) - (2x + 18)(1)}{(x + 8)^2}$$

   Раскрываем скобки:

   $$y' = \frac{2(x + 8) - (2x + 18)}{(x + 8)^2} = \frac{2x + 16 - 2x - 18}{(x + 8)^2}$$

   Упростим числитель:

   $$y' = \frac{-2}{(x + 8)^2}$$

2. Найти критические точки:

   Критическая точка — это точка, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная всегда отрицательна, так как числитель равен $-2$, а знаменатель всегда положителен. Следовательно, функция не имеет критических точек в пределах отрезка $[0,5; 12]$.

3. Проверить значения функции на концах отрезка:

   Поскольку функция монотонно убывает (производная отрицательна), минимальное значение будет на правом конце отрезка $x = 12$. Проверим значения функции на концах отрезка:

   • Для $x = 0,5$:

     $$y(0,5) = \frac{2(0,5) + 18}{0,5 + 8} = \frac{1 + 18}{8,5} = \frac{19}{8,5} \approx 2,24$$

   • Для $x = 12$:

     $$y(12) = \frac{2(12) + 18}{12 + 8} = \frac{24 + 18}{20} = \frac{42}{20} = 2,1$$

4. Вывод:

   На отрезке $[0,5; 12]$ наименьшее значение функции $y$ достигается при $x = 12$, и оно равно 2,1.