В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 4√15, sinA = 0,25. Найдите высоту CH.

Для того чтобы найти высоту $CH$ в прямоугольном треугольнике $ABC$, где угол $C = 90^\circ$, $AB = 4\sqrt{15}$, и $\sin A = 0,25$, нужно использовать несколько шагов.

1. Используем тригонометрическое соотношение для синуса угла $A$:

   $$\sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$$

   Из условия задачи известно, что $\sin A = 0,25$ и $AB = 4\sqrt{15}$, подставляем эти значения:

   $$0,25 = \frac{BC}{4\sqrt{15}}$$

   Решаем для $BC$:

   $$BC = 0,25 \times 4\sqrt{15} = \sqrt{15}$$

2. Используем теорему Пифагора для нахождения другого катета $AC$:

   В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставим известные значения:

   $$(4\sqrt{15})^2 = AC^2 + (\sqrt{15})^2$$ $$16 \times 15 = AC^2 + 15$$ $$240 = AC^2 + 15$$ $$AC^2 = 240 - 15 = 225$$ $$AC = \sqrt{225} = 15$$

3. Нахождение высоты $CH$:

   Высота треугольника, опущенная из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$, можно найти по формуле площади треугольника двумя способами: через катеты и через высоту.

   Площадь треугольника $ABC$ через катеты $AC$ и $BC$:

   $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 15 \times \sqrt{15} = \frac{15\sqrt{15}}{2}$$

   Площадь через гипотенузу и высоту $CH$:

   $$S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{15} \times CH$$

   Приравниваем два выражения для площади:

   $$\frac{15\sqrt{15}}{2} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{15} \times CH$$

   Убираем $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{15}$:

   $$15 = 4 \times CH$$ $$CH = \frac{15}{4} = 3,75$$