Найти точки екстемума фун-и f(x)=3x^4+4x^3-36x^2+10

Чтобы найти точки экстремума функции $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 36x^2 + 10$, нужно пройти несколько шагов.

1. Найдем первую производную функции $f'(x)$.

Производная функции $f(x)$ вычисляется с помощью стандартных правил дифференцирования для каждой из составляющих:

2. Приравняем первую производную к нулю для нахождения критических точек (где возможны экстремумы).

Выносим общий множитель $12x$:

Это уравнение дает два компонента:

• $12x = 0$ → $x = 0$

• $x^2 + x - 6 = 0$

3. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Используем дискриминант для решения:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

4. Критические точки: $x = 0$, $x = 2$, $x = -3$.

Теперь необходимо определить, являются ли эти точки точками максимума, минимума или седловыми точками. Для этого находим вторую производную функции $f''(x)$.

5. Вторая производная $f''(x)$:

6. Проверим знак второй производной в критических точках:

• Для $x = 0$:

Так как $f''(0) < 0$, точка $x = 0$ является точкой максимума.

• Для $x = 2$: