Найти точку минимума функции (3-2х)cosx+2sinx+5 на отрезке (0;П/2)

Для нахождения точки минимума функции $f(x) = (3 - 2x) \cos x + 2 \sin x + 5$ на отрезке $(0, \frac{\pi}{2})$, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдём первую производную функции

Первая производная функции $f(x)$ вычисляется с использованием правил дифференцирования для произведений и сумм:

Разделим на части и дифференцируем каждую:

• Для $(3 - 2x) \cos x$ применяем правило произведения:

  $$\frac{d}{dx} \left[ (3 - 2x) \cos x \right] = (3 - 2x) (-\sin x) + (-2) \cos x = - (3 - 2x) \sin x - 2 \cos x$$

• Для $2 \sin x$ производная будет:

  $$\frac{d}{dx} \left[ 2 \sin x \right] = 2 \cos x$$

• Для постоянной $5$ производная равна нулю:

  $$\frac{d}{dx} \left[ 5 \right] = 0$$

Таким образом, первая производная функции $f'(x)$ равна:

Упростим выражение:

2. Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

Решения данного уравнения возможны в двух случаях:

• $\sin x = 0$, что даёт $x = 0$. Однако, этот $x$ не лежит в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, поэтому этот корень мы отвергаем.

• $3 - 2x = 0$, что даёт $x = \frac{3}{2}$.

Однако, это значение выходит за пределы интервала $(0, \frac{\pi}{2})$. Таким образом, на данном интервале нет критических точек функции.

3. Проверка на границах интервала

Поскольку на интервале нет критических точек, минимальное значение функции может быть на границах отрезка.

• В точке $x = 0$:

  $$f(0) = (3 - 2(0)) \cos(0) + 2 \sin(0) + 5 = 3 \times 1 + 0 + 5 = 8$$

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$:

  $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = (3 - 2\frac{\pi}{2}) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 5 = (3 - \pi) \times 0 + 2 \times 1 + 5 = 7$$

4. Вывод

Значение функции на границах интервала:

• $f(0) = 8$

• $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 7$

Минимальное значение функции на отрезке $(0, \frac{\pi}{2})$ достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$ и равно 7.