Решите уравнение log3(x^2+4x+12)=2

Для решения уравнения $\log_3(x^2 + 4x + 12) = 2$ используем следующие шаги:

1. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме. Логарифм с основанием 3, равный 2, означает, что выражение внутри логарифма должно быть равно $3^2$. То есть:

   $$x^2 + 4x + 12 = 3^2$$

   $3^2 = 9$, поэтому уравнение становится:

   $$x^2 + 4x + 12 = 9$$

2. Упростим уравнение, перенесем все элементы на одну сторону:

   $$x^2 + 4x + 12 - 9 = 0$$ $$x^2 + 4x + 3 = 0$$

3. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 4$, $c = 3$. Подставим эти значения в формулу:

   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 2}{2}$$

4. Рассмотрим два случая:

   • $x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

   • $x = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Проверим, не дает ли ни одно из найденных значений отрицательное значение внутри логарифма, поскольку логарифм отрицательных чисел не существует. Подставим $x = -1$ и $x = -3$ в выражение внутри логарифма:

   • Для $x = -1$: $x^2 + 4x + 12 = (-1)^2 + 4(-1) + 12 = 1 - 4 + 12 = 9$, что положительно.

   • Для $x = -3$: $x^2 + 4x + 12 = (-3)^2 + 4(-3) + 12 = 9 - 12 + 12 = 9$, что также положительно.

Оба значения $x = -1$ и $x = -3$ являются допустимыми решениями.

Ответ: $x = -1$ и $x = -3$.