В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и Y так, что точка Х лежит между точками А и Y, и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если XBY = 16 градусов.

Обозначим $AX=BX=BY=t$. По условию $AB=AC$, а точки $A,X,Y,C$ лежат на одной прямой в порядке $A-X-Y-C$.

1) Треугольник $BXY$

Так как $BX=BY$, треугольник $BXY$ равнобедренный с вершиной при $B$. Дано:

Тогда его углы при основании:

2) Угол при вершине $X$ в треугольнике $ABX$ и угол $\angle CAB$

Точки $A,X,Y$ коллинеарны, причём лучи $XA$ и $XY$ противоположны. Поэтому угол $\angle BXA$ дополняет $\angle BXY$ до $180^\circ$:

Теперь рассмотрим треугольник $ABX$. В нём $AX=BX$, значит он равнобедренный, и углы при основании равны:

Но $\angle XAB$ — это угол между $AX$ и $AB$. Так как $X$ лежит на $AC$, луч $AX$ совпадает с лучом $AC$. Следовательно,

3) Базовый угол треугольника $ABC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=AC$), значит углы при основании равны:

4) Угол $\angle ABY$

В треугольнике $BXY$ мы нашли $\angle BYX=82^\circ$. В точке $Y$ лучи $YX$ и $YA$ совпадают (потому что $A$ лежит на прямой $YX$ со стороны $X$), значит:

В треугольнике $ABY$ угол при $A$ равен $\angle BAY=\angle CAB=41^\circ$ (так как $AY$ лежит на $AC$). Тогда:

5) Искомый угол $\angle CBY$

В вершине $B$ луч $BY$ лежит внутри угла $\angle ABC$, поэтому