Докажите неравенство a² + 4b² ≥ 2ab. Сравните значения (a - 3)² и 9 - 6a.

Докажем неравенство

Рассмотрим разность левой и правой частей:

Попробуем представить её в виде суммы квадратов:

Действительно,

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

Значит, их сумма тоже неотрицательна:

Следовательно,

то есть

Неравенство доказано.

Теперь сравним значения $(a-3)^2$ и $9-6a$.

Раскроем скобки:

Второе выражение:

Тогда

Получили:

Значит,

Итак, всегда верно:

Причём равенство достигается только при $a=0$.