Докажите тождество 1) 1+2sinacosa / (sina+cosa)^2 =1 2) sin^2a-cos^2a+1 / sin^2a=2 3) (2-sina)(2+sina)+(2-cosa)(2+cosa)=7

Докажем каждое тождество отдельно.

1) $\dfrac{1+2\sin a \cos a}{(\sin a+\cos a)^2}=1$

Рассмотрим знаменатель:

Так как

то получаем:

Подставим в исходную дробь:

Тождество доказано.

2) $\dfrac{\sin^2 a-\cos^2 a+1}{\sin^2 a}=2$

Преобразуем числитель:

Используем тождество

Тогда:

Сокращаем $-\cos^2 a+\cos^2 a$:

Теперь вся дробь равна:

Тождество доказано.

3) $(2-\sin a)(2+\sin a)+(2-\cos a)(2+\cos a)=7$

Применим формулу разности квадратов:

Складываем:

Так как

то получаем:

Следовательно,

Тождество доказано.

Ответ:

1. $\dfrac{1+2\sin a\cos a}{(\sin a+\cos a)^2}=1$

2. $\dfrac{\sin^2 a-\cos^2 a+1}{\sin^2 a}=2$