1) Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена Xn= (3n-1)/(5n+2), является возрастающей. 2) Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена An= (n+1)/(2n+1), является убывающей. 3) При каких значениях a и b последовательность, заданная формулой общего члена An= (an+2)/(bn+1), является возрастающей или убывающей?

Разберём каждый пункт подробно, как на сайте типа «StackExchange».

1) Последовательность $X_n = \frac{3n - 1}{5n + 2}$ является возрастающей

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, можно проверить, что $X_{n+1} - X_n > 0$ для всех $n \ge 1$.

Вычислим разность:

Приведём к общему знаменателю $(5n+7)(5n+2)$:

Раскроем скобки в числителе:

Вычтем:

Значит:

✅ Следовательно, последовательность возрастающая.

2) Последовательность $A_n = \frac{n+1}{2n+1}$ является убывающей

Аналогично, проверим знак разности $A_{n+1} - A_n$:

Приведём к общему знаменателю $(2n+3)(2n+1)$: