В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA1 и CC1. Точка M — середина стороны AC. Известно, что угол MA1C1 = 60 градусов, A1C1 = 5 см. Найдите сторону AC.

Точки $A, A_1, C, C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$.

Действительно:

• $AA_1 \perp BC$, а $A_1C\subset BC$, поэтому $\angle AA_1C=90^\circ$;

• $CC_1 \perp AB$, а $AC_1\subset AB$, поэтому $\angle AC_1C=90^\circ$.

Значит, по теореме Фалеса точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат окружности с диаметром $AC$.

Точка $M$ — середина $AC$, следовательно, она является центром этой окружности. Поэтому

Рассмотрим треугольник $MA_1C_1$. Он равнобедренный, так как $MA_1=MC_1$. По условию

Тогда второй угол при основании тоже равен $60^\circ$, то есть

Следовательно, и третий угол равен $60^\circ$, поэтому треугольник $MA_1C_1$ равносторонний. Значит,

Но $MA_1$ — радиус окружности, а $AC$ — её диаметр: