Существует ли такое значение а, при котором между числами -а и а на координатной прямой лежит тысяча целых чисел? Какое?

Для того чтобы выяснить, существует ли такое значение $a$, при котором между числами $-a$ и $a$ на координатной прямой лежит тысяча целых чисел, рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Условия задачи

Числа $-a$ и $a$ — это границы отрезка на координатной прямой. Между ними должно лежать ровно 1000 целых чисел.

Важно: если говорить о «лежащих» числах, то это числа, находящиеся строго между $-a$ и $a$, не включая сами границы.

2. Количество целых чисел на отрезке

Чтобы понять, сколько целых чисел находится между $-a$ и $a$, запишем:

1. Границы включают числа $-a$ и $a$.
2. Все целые числа между ними — это числа $x$, удовлетворяющие $-a < x < a$.
3. Количество таких чисел равно разности между ближайшими к $-a$ и $a$ целыми числами.

Например, для $a = 3.5$, целые числа между $-a$ и $a$ — это $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$, всего 7 чисел.

3. Формула

Общее количество целых чисел между $-a$ и $a$ определяется как:

где $n = \lfloor a \rfloor$ — наибольшее целое число, меньшее $a$. Если $2n - 1 = 1000$, то:

Следовательно, $n = 500$.

4. Значение $a$

Для выполнения условия $n = 500$, $a$ должно быть больше 500, чтобы включить все числа до 500, но не меньше $500.5$, так как дробная часть позволяет выйти за рамки ближайших целых чисел.

Таким образом, любое $a \geq 500.5$ удовлетворяет условию.

Ответ:

Да, такое значение $a$ существует. Оно должно быть $a \geq 500.5$.