Из пункта А в 6 ч утра вышел турист.Вечером он дошёл до пункта В и,переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт А.Докажите, что на маршруте есть такой пункт С, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый ,так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться).

Для решения задачи воспользуемся принципом непрерывности и теоремой о промежуточных значениях.

Пояснение:

1. Описание движения туриста:

   • В первый день турист в 6 утра начал движение из пункта $A$ и дошёл до пункта $B$.
   • Во второй день турист в 6 утра начал движение из пункта $B$ и вернулся в пункт $A$.

   Заметим, что маршруты туда и обратно полностью совпадают, но направление движения различно.

2. Необходимо доказать: На маршруте есть такой пункт $C$, в котором турист в первый и второй день оказался в одно и то же время.

3. Построим функцию: Пусть $f(t)$ — положение туриста на маршруте в момент времени $t$ в первый день. Пусть $g(t)$ — положение туриста на маршруте в момент времени $t$ во второй день.

   • В первый день турист движется от $A$ к $B$, то есть $f(t)$ возрастает от $A$ до $B$.
   • Во второй день турист движется от $B$ к $A$, то есть $g(t)$ убывает от $B$ к $A$.

   Обе функции $f(t)$ и $g(t)$ определены на одном и том же временном интервале, например, от 6 утра первого дня до времени прибытия в пункт $B$, а затем обратно до 6 утра второго дня.

4. Рассмотрим разность функций: Определим новую функцию $h(t) = f(t) - g(t)$.

   • В 6 утра первого дня ($t = 6$) турист находится в пункте $A$, то есть $f(6) = A$, а во второй день он тоже стартует из $B$, то есть $g(6) = B$. Следовательно, $h(6) = f(6) - g(6) = A - B$.
   • В момент времени прибытия второго дня в пункт $A$ ($t = T$), $f(T) = B$, а $g(T) = A$, поэтому $h(T) = B - A$.

   Мы видим, что $h(t)$ меняется от значения $A - B$ в начале до значения $B - A$ в конце.

5. Применим теорему о промежуточных значениях: Функция $h(t)$ является непрерывной (положение туриста изменяется непрерывно). Согласно теореме о промежуточных значениях, если $h(6) = A - B$, а $h(T) = B - A$, то на интервале от $t = 6$ до $t = T$ существует хотя бы один момент времени $t = t_c$, когда $h(t_c) = 0$.

   А равенство $h(t_c) = 0$ означает, что $f(t_c) = g(t_c)$, то есть в момент времени $t_c$ турист находится в одном и том же месте $C$ как в первый, так и во второй день.

Вывод:

На маршруте обязательно существует точка $C$, в которой турист был в одно и то же время в первый и во второй день. Это следует из непрерывности движения туриста и теоремы о промежуточных значениях.