Решите уравнение (х+3)² - 2(х+3) - 3 = 0, используя введение новой переменной.

Для решения уравнения $(x+3)^2 - 2(x+3) - 3 = 0$ с помощью введения новой переменной, следуем поэтапно.

1. Введение новой переменной: Чтобы упростить уравнение, введем новую переменную. Обозначим:

   $$y = x + 3$$

   Таким образом, уравнение примет вид:

   $$y^2 - 2y - 3 = 0$$

2. Решение квадратного уравнения: Теперь у нас стандартное квадратное уравнение вида $y^2 - 2y - 3 = 0$. Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = -2$, и $c = -3$.

   Подставим значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$y = \frac{2 \pm 4}{2}$$

3. Находим корни уравнения: Теперь найдем два корня:

   • $y = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

   • $y = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

4. Возвращаемся к переменной $x$: Поскольку мы ввели замену $y = x + 3$, теперь можем найти значения $x$, подставив $y = 3$ и $y = -1$ в это выражение.

   Для $y = 3$:

   $$x + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

   Для $y = -1$:

   $$x + 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = 0$ и $x = -4$.