Решите уравнение: 1/(х(х-2)) + 2/((х-1)^2) = 2

Конечно! Давайте подробно разберем уравнение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Сначала определим, при каких значениях $x$ уравнение не имеет смысла:

• $x(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 2$

• $(x - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

ОДЗ: $x \neq 0, 1, 2$

2. Приведение к общему знаменателю

Знаменатели у нас разные: $x(x - 2)$ и $(x - 1)^2$. Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель:

Общий знаменатель:

Теперь приведем обе дроби к этому знаменателю:

Первая дробь:

Вторая дробь:

Теперь перепишем уравнение:

3. Объединяем числители

Раскроем скобки:

• $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

• $2x(x - 2) = 2x^2 - 4x$

Сложим числители:

Подставим:

4. Устраняем знаменатель

Домножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

Теперь раскроем правую часть:

Раскроем $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

Теперь:

Рассчитаем поэтапно:

1. $x(x - 2) = x^2 - 2x$

2. Теперь умножим на $x^2 - 2x + 1$:

Выполним умножение:

• $x^2 \cdot (x^2 - 2x + 1) = x^4 - 2x^3 + x^2$

• $-2x \cdot (x^2 - 2x + 1) = -2x^3 + 4x^2 - 2x$