Решите уравнение \( x^4 + x^2 - 2 = 0 \), заменив \( x^2 = y \).

Для того чтобы решить уравнение $x^4 + x^2 - 2 = 0$, давайте сделаем подстановку $x^2 = y$. Это упрощает задачу, так как у нас появляется квадратное уравнение относительно $y$.

1. Подставляем $x^2 = y$ в исходное уравнение:

   $$x^4 + x^2 - 2 = 0$$ $$y^2 + y - 2 = 0$$

   Теперь нам нужно решить квадратное уравнение $y^2 + y - 2 = 0$.

2. Решаем квадратное уравнение методом выделения корней: Мы можем разложить его на множители. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма — $1$. Такими числами будут $2$ и $-1$, так как:

   $$2 \times (-1) = -2, \quad 2 + (-1) = 1$$

   Следовательно, уравнение раскладывается на множители:

   $$(y + 2)(y - 1) = 0$$

3. Из этого мы получаем два возможных значения для $y$:

   $$y + 2 = 0 \quad \text{или} \quad y - 1 = 0$$

   То есть:

   $$y = -2 \quad \text{или} \quad y = 1$$

4. Теперь вспоминаем, что $y = x^2$, поэтому для каждого значения $y$ находим $x$:

   • Если $y = -2$, то $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет вещественных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

   • Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Это уравнение имеет два решения:

     $$x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1$$

5. Таким образом, уравнение $x^4 + x^2 - 2 = 0$ имеет два вещественных решения: $x = 1$ и $x = -1$.